Analysis Beispiele

$(1 + x^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

Schritt 1

Addiere $x^{2} y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + x^{3}) d y = x^{2} y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x^{3}$ aus $(1 + x^{3}) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x^{3}) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (x^{2} y) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{3}} x^{2} d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{3}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1^{3} + x^{3}} d x$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} d x$

Schritt 3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} d x$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Sei $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.1.1

Es sei $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Differenziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Schritt 4.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.1.1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.1.1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.1.1.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.1.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.3.12

Mutltipliziere $1 - x + x^{2}$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.9

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.11

Addiere $x + 2 x^{2}$ und $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.12

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.13

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Schritt 4.3.1.1.4.4.14

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 4.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 4.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.6

Ersetze alle $u$ durch $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} + C$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} = C$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.6.1

Bewege $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.2.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $1 + x^{2}$ und $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 0 + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.3.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.4

Um $\ln (| y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.1

Kombiniere $\ln (| y |)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3 - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (| y |)$ .

$\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache $\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3}$ .

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Schritt 5.7.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.1.1

Vereinfache $3 \ln (| y |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y |}^{3}) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.7.1.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.3

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1.1.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.4

Multipliziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.1.3.5.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.1.1.3.5.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.1.1.3.5.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.7.1.1.3.5.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.5.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 5.7.1.1.3.6.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.6.2

Addiere $1 + x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.6.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 0 + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.6.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.7

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.8

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1.1.3.9.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.1.3.9.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Schritt 5.7.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ um.

$\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Schritt 5.7.1.3

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}^{\frac{1}{3}}) = C$

Schritt 5.7.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$ an.

$\ln (\frac{{({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.7.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.7.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{| y |}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{| y |}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.7.1.6.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.6.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.1.6.2.6.1

Bewege $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.1.6.2.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.7.1.6.2.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.2.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 5.7.1.6.3.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.3.2

Addiere $1 + x^{2}$ und $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 0 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.7.1.6.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Schritt 5.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Schritt 5.9

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Schritt 5.10.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.10.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.10.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.10.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.10.4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$