Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \csc (x)$ , $y (4) = - 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \csc (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \csc (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \csc (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\csc (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $4$ für $x$ und $- 5$ für $y$ in $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ ersetzt wird.

$- 5 = \ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$ um.

$\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Berechne $\csc (4)$ .

$\ln (| 14.33558702 - \cot (4) |) + C = - 5$

Schritt 4.2.1.1.2

Berechne $\cot (4)$ .

$\ln (| 14.33558702 - 1 \cdot 14.30066625 |) + C = - 5$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $14.30066625$ .

$\ln (| 14.33558702 - 14.30066625 |) + C = - 5$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $14.30066625$ von $14.33558702$ .

$\ln (| 0.03492076 |) + C = - 5$

Schritt 4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0.03492076$ ist $0.03492076$ .

$\ln (0.03492076) + C = - 5$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\ln (0.03492076)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = - 5 - \ln (0.03492076)$

Schritt 5

Setze $- 5 - \ln (0.03492076)$ für $C$ in $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $- 5 - \ln (0.03492076)$ .

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - 5 - \ln (0.03492076)$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $0.03492076$ aus $0.03492076$ heraus.

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076 (1)}) - 5$

Schritt 5.3.3

Separiere Brüche.

$y = \ln (\frac{1}{0.03492076} \cdot \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

Schritt 5.3.4

Dividiere $1$ durch $0.03492076$ .

$y = \ln (28.63625328 \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

Schritt 5.3.5

Dividiere $| \csc (x) - \cot (x) |$ durch $1$ .

$y = \ln (28.63625328 | \csc (x) - \cot (x) |) - 5$