Analysis Beispiele

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{4 y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{4 y}$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{4 y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren von $e^{4 y} (4 y')$ um.

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Schritt 3

Ersetze $e^{4 y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Schritt 5

Subtrahiere $3 v$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Schritt 6

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 3$ gilt.

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Schritt 6.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 3 d x}$

Schritt 6.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 3 x + C}$

Schritt 6.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 x}$

Schritt 7

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 7.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Schritt 7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Schritt 7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Schritt 7.4

Multipliziere $e^{- 3 x}$ mit $e^{3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1

Bewege $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Schritt 7.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Schritt 7.4.3

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Schritt 7.5

Vereinfache $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Schritt 7.6

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ um.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Schritt 8

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Schritt 9

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Schritt 10

Integriere die linke Seite.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Schritt 11

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 11.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Schritt 11.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 11.3.2

Vereinfache.

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Schritt 11.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Schritt 11.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ durch $e^{- 3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ durch $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 13

Ersetze alle $v$ durch $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 14

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 14.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Schritt 14.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 14.2.1

Zerlege $\ln (e^{4 y})$ durch Herausziehen von $4 y$ aus dem Logarithmus.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Schritt 14.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Schritt 14.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Schritt 14.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Schritt 14.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$