Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Dann ist $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.2.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Schritt 2.3.2.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1.4.4.1

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Schritt 2.3.2.1.4.4.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ um.

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $u_{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{3}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ als $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.9.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.9.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.9.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$