Analysis Beispiele

$69 x d y + 420 y d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $420 y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$69 x d y = - 420 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $69$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 420$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $69$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $69$ aus dem Integral.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Da $420$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $420$ aus dem Integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $420$ mit $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $69 \ln (| y |)$ , indem du $69$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache $420 \ln (| x |)$ , indem du $420$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

Schritt 5.2.1.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{420}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

Schritt 5.2.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ um.

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ um.

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ durch $x^{420}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ durch $x^{420}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{420}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere ${| y |}^{69}$ durch $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ als ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ um.

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Schritt 5.5.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{69}$ aus $e^{C}$ heraus.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

Schritt 5.5.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(x^{6})}^{69}$ aus $x^{420}$ heraus.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

Schritt 5.5.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ um.

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Schritt 5.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Schritt 5.5.4.3

Schreibe $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ als $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ um.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

Schritt 5.5.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.5.4.4.1

Kombinieren.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Schritt 5.5.4.4.2

Mutltipliziere $\sqrt[69]{e^{C}}$ mit $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Schritt 5.5.4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.5.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

Schritt 5.5.4.5.2

Schreibe $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ als $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

Schritt 5.5.4.5.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

Schritt 5.5.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Schritt 5.5.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Schritt 5.5.4.7.2

Bewege $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Schritt 5.5.4.7.3

Potenziere $\sqrt[23]{x^{2}}$ mit $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Schritt 5.5.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

Schritt 5.5.4.7.5

Addiere $1$ und $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

Schritt 5.5.4.7.6

Schreibe ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 5.5.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[23]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{23}}$ neu zu schreiben.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

Schritt 5.5.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

Schritt 5.5.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{2}{23}$ und $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

Schritt 5.5.4.7.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

Schritt 5.5.4.7.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $46$ und $23$ .

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Schritt 5.5.4.7.6.5.1

Faktorisiere $23$ aus $46$ heraus.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

Schritt 5.5.4.7.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.7.6.5.2.1

Faktorisiere $23$ aus $23$ heraus.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

Schritt 5.5.4.7.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

Schritt 5.5.4.7.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 5.5.4.7.6.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

Schritt 5.5.4.8

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.4.8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

Schritt 5.5.4.8.2

Addiere $6$ und $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.9.1

Schreibe ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ als $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{22}$ .

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Schritt 5.5.4.9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.3

Faktorisiere $x^{23}$ aus.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.5.4.9.5.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $69$ .

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Schritt 5.5.4.9.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[23]{x^{21}}$ als $x^{\frac{21}{23}}$ neu zu schreiben.

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.5.1.2

Schreibe $x^{\frac{21}{23}}$ als $x^{\frac{63}{69}}$ um.

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.5.1.3

Schreibe $x^{\frac{63}{69}}$ als $\sqrt[69]{x^{63}}$ um.

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.9.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{8}$ .

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Schritt 5.5.4.10.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ heraus.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Schritt 5.5.4.10.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.4.10.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{8}$ heraus.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Schritt 5.5.4.10.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Schritt 5.5.4.10.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

Schritt 5.5.4.10.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Schritt 5.5.5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$