Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

Schritt 1

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2 x$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 x d x}$

Schritt 2.2

Integriere $2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int x d x}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ um.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Schritt 7.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 7.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 7.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Schritt 7.8.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Schritt 7.8.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Schritt 7.8.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Schritt 7.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Schritt 7.9

Stelle die Terme um.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ durch $e^{x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ durch $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $\frac{1}{2} x^{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $- \frac{1}{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $\frac{1}{2} x^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1

Stelle $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ um.

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.2.2

Um $x^{2} \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $x^{2} \frac{1}{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.3.3

Schreibe $x^{2} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.3.3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.3.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.4

Um $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.5

Um $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 e^{x^{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ mit $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

Schritt 8.3.6.3

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} \cdot 2$ um.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.8.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.3.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.3.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.8.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.4

Schreibe $- 1 e^{x^{2}}$ als $- e^{x^{2}}$ um.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3.8.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$