Analysis Beispiele

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $x = e^{r y}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $y (r^{2} e^{r y})$ um.

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Schritt 2.5

Faktorisiere $e^{r y}$ aus $y r^{2} e^{r y}$ heraus.

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Schritt 2.6

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $y r^{2} = y^{2} + 1$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $y r^{2} = y^{2} + 1$ durch $y$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.3.1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Schritt 3.1.3.1.2.5

Dividiere $y$ durch $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

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Schritt 3.3.1

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Schritt 3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ als $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Schritt 3.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Schritt 3.3.6.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Schritt 3.3.6.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Schritt 3.3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Schritt 3.3.6.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 3.3.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Schritt 3.3.6.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Schritt 3.3.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Schritt 3.3.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ in den Zähler.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$