Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Dann ist $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , folglich $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \csc (θ)$ und $g (θ) = 7 θ$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $7 θ$ nach $θ$ gleich $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Schritt 2.3.1.1.3.4.2

Stelle die Faktoren von $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ um.

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ als $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ um.

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\frac{π}{4}$ für $θ$ und $3$ für $r$ in $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ ersetzt wird.

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ um.

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kombiniere $7$ und $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosekans im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.4

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.5.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.5.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.2.1.5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Schritt 4.2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Schritt 4.2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Schritt 4.2.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Schritt 4.2.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Schritt 4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{14}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Schritt 4.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Schritt 4.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Schritt 4.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Schritt 4.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{1}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Schritt 4.3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $21$ und $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Schritt 5

Setze $\frac{22}{7}$ für $K$ in $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{22}{7}$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\csc^{2} (7 θ)$ und $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$