Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x \cos (5 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x \cos (5 x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x \cos (5 x^{2}) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x \cos (5 x^{2}) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Sei $u = 5 x^{2}$ . Dann ist $d u = 10 x d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 5 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{10} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{10}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{10} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{10} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} (\sin (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{10} \sin (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $8$ für $y$ in $y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + K$ ersetzt wird.

$8 = \frac{1}{10} \sin (5 \cdot 0^{2}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0^{2}) + K = 8$ um.

$\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0^{2}) + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0) + K = 8$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \sin (0) + K = 8$

Schritt 4.2.1.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot 0 + K = 8$

Schritt 4.2.1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $0$ .

$0 + K = 8$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 8$

Schritt 5

Setze $8$ für $K$ in $y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $8$ .

$y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + 8$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $\sin (5 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (5 x^{2})}{10} + 8$