Analysis Beispiele

$(y e^{x y} - 2 y^{3}) d x + (x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y e^{x y} - 2 y^{3}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y} - 2 y^{3}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{x y} - 2 y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{3}$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} - 2 (3 y^{2})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} - 6 y^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Faktoren in $- 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 6 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x y^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.5

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} + 0$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$

Schritt 2.6.3

Stelle die Faktoren in $- 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{x y} - 2 y^{3} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = y e^{x y} - 2 y^{3}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y e^{x y} d x + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y \int e^{x y} d x + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.3

Sei $u = x y$ . Dann ist $d u = y d x$ , folglich $\frac{1}{y} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.3.1

Es sei $u = x y$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Differenziere $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 5.3.1.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y$

Schritt 5.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = y \int e^{u} \frac{1}{y} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = y \int \frac{e^{u}}{y} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.5

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u) + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{y} \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{y}{y} \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 y^{3} d x$

Schritt 5.8

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 y^{3} x + C$

Schritt 5.9

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{u} - 2 y^{3} x + C$

Schritt 5.10

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

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Schritt 8.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 8.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.3.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{x y} x + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{3} x$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$e^{x y} x - 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x y} x - 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$e^{x y} x - 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$e^{x y} x - 6 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x - 6 y^{2} x = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 8.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x - 6 y^{2} x$ um.

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} - 6 y^{2} x = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 6 y^{2} x = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y - x e^{x y}$

Schritt 9.1.2

Addiere $6 y^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y - x e^{x y} + 6 y^{2} x$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y - x e^{x y} + 6 y^{2} x$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $x e^{x y}$ von $x e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x y^{2} - 2 y + 0 + 6 y^{2} x$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $- 6 x y^{2} - 2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x y^{2} - 2 y + 6 y^{2} x$

Schritt 9.1.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $- 6 x y^{2}$ und $6 y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = - 6 y^{2} x - 2 y + 6 y^{2} x$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $- 6 y^{2} x$ und $6 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Schritt 9.1.3.5

Addiere $- 2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Schritt 10.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x - y^{2} + C$