Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{\frac{1}{2}}$ ist.

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{2}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{2}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{2}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = 2 v v'$

Schritt 6

Setze $2 v v'$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{2}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ ein.

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 7.1.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 7.1.1.1

Vereinfache $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.1.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 7.1.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 7.1.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

Schritt 7.1.1.1.2

Vereinfache.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

Schritt 7.1.1.2

Subtrahiere $x v^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

Schritt 7.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ durch $2 v$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ durch $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.1.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2.2.2

Dividiere $\frac{d v}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.1.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.2.2

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $v^{2}$ und $v$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1.3.1

Faktorisiere $v$ aus $- x v^{2}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.1.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $v$ aus $2 v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x - \frac{x v}{2}$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

Schritt 7.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{x v}{2}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

Schritt 7.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

Schritt 7.1.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

Schritt 7.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

Schritt 7.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

Schritt 7.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

Schritt 7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.1.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Schritt 7.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Schritt 7.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

Schritt 7.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 - v$ .

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Schritt 7.1.4.3.1

Faktorisiere $6 - v$ aus $x (6 - v)$ heraus.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Schritt 7.1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Schritt 7.1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

Schritt 7.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

Schritt 7.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 7.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

Schritt 7.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

Schritt 7.2.2.2

Sei $u_{2} = 6 - v$ . Dann ist $d u_{2} = - d v$ , folglich $- d u_{2} = d v$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Es sei $u_{2} = 6 - v$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 7.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Schritt 7.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Schritt 7.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Schritt 7.2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 7.2.2.7

Vereinfache.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 7.2.2.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 7.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 7.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (| 6 - v |)$ durch $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.3.1.3

Kombinieren.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 7.3.1.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

Schritt 7.3.2

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Schritt 7.3.3

Schreibe $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

Schritt 7.3.4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ um.

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Schritt 7.3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Schritt 7.3.4.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

Schritt 7.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.3.4.4.2.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.4.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.3.4.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ als $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ um.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 7.3.4.4.3.1.3

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

Schritt 7.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

Schritt 7.4.2

Schreibe $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ als $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ um.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

Schritt 7.4.3

Stelle $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ und $e^{C}$ um.

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Schritt 7.4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$