Analysis Beispiele

$2 x \frac{d y}{d x} - y = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \frac{d y}{d x} = y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \frac{d y}{d x} = y$ durch $2 x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \frac{d y}{d x} = y$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.1

Schreibe $\frac{\ln (| x |)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ um.

$\ln (| y |) - (\frac{1}{2} \ln (| x |)) = C$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.6.4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{2}}$