Analysis Beispiele

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} y + 8 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} y$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ nach $y$ gleich $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y + 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x^{3} + 8$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x^{3} + 8 = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x^{3} + 8 = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x^{3} + 8$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $x^{3} y + 8 y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $x^{3} y + 8 y$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $- (- x^{3} - 8)$ von $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe $- x^{3} - 8$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.2.4.1

Schreibe $- x^{3}$ als ${(- x)}^{3}$ um.

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = - x$ und $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.4.4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4.4.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.2.4.4.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y + 8 y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y$ heraus.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

Schritt 4.3.3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

Schritt 4.3.3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{3} + y \cdot 8$ heraus.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

Schritt 4.3.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

Schritt 4.3.3.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 2 x + 4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 2$ und $x + 2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

Schritt 4.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

Schritt 4.3.5.4

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Schritt 4.3.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Schritt 4.3.5.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 4.3.6

Ersetze $M$ durch $x^{3} y + 8 y$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{3} y + 8 y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{3} y + 8 y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y + 8 y$ heraus.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y$ heraus.

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{3} + y \cdot 8$ heraus.

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.3.4

Vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.3.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Dividiere $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ durch $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.6.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.3.1

Bewege $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

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Schritt 6.7.1

Addiere $- 2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.7.2

Addiere $x^{3} + 4 x$ und $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.7.3

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.7.4

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $y + 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $y + 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = x^{3} + 8$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

Schritt 8.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

Schritt 8.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 11.3

Da $\frac{1}{4} x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 11.4

Da $8 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 11.6

Vereine die Terme

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Schritt 11.6.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 11.6.2

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{y + 1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Schritt 12.3

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 12.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.5.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.7

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

Schritt 12.8

Vereinfache.

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

Schritt 13

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$