Analysis Beispiele

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 3.2

Dividiere $x^{2} + 1$ durch $x$ .

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Schritt 3.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 3.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Schritt 3.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 3.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 3.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 3.2.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 3.6.2

Vereinfache.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Schritt 4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$