Analysis Beispiele

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $5 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ durch $10 x y$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ durch $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $10$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Schritt 2.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Schritt 2.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Schritt 2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Schritt 2.1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Schritt 2.1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

Schritt 2.1.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 3.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $\ln (| x |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Schritt 4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1.1

Schreibe $\frac{\ln (| x |)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ um.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

Schritt 4.3.1.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 4.3.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ um.

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

Schritt 4.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

Schritt 4.5

Schreibe $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

Schritt 4.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.1

Schreibe die Gleichung als ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ um.

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

Schritt 4.6.2

Teile jeden Ausdruck in ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ durch ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ durch ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.6.2.2.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.6.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$