Analysis Beispiele

$y \ln (x) - x \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $y \ln (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ durch $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (x)}{x}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int u d u$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C} = | y |$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ um.

$| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ als $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$