Analysis Beispiele

$(x + 1) d y + (2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 y + 1 - 2 \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y + 1 - 2 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.4.2

Da $- 2 \cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + 0$

Schritt 2.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + 1$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x + 1$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x + 1$ .

$\frac{2 - 1}{x + 1}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

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Schritt 6.1

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 6.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Schritt 6.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | u | + C$

Schritt 6.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x + 1$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ mit $x + 1$ .

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$(2 y x + 2 y \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 y x + 2 y + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.4

Stelle die Faktoren in $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)$ um.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $x + 1$ mit $x + 1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) (x + 1) d y = 0$

Schritt 7.6

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x (x + 1) + 1 (x + 1)) d y = 0$

Schritt 7.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) d y = 0$

Schritt 7.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Schritt 7.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Schritt 7.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Schritt 7.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Schritt 7.7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1) d y = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $x$ und $x$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + 2 x + 1) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 x + 1 d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = x^{2} + 2 x + 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(x^{2} + 2 x + 1) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.3.8

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$y (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (2 x + 2) + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (2 x) + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.5.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 \cdot y x + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.5.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

Schritt 13.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$ .

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Schritt 13.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 y x$ und $- 2 x y$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

Schritt 13.1.3.2

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0 - 2 y$

Schritt 13.1.3.3

Addiere $2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 y$

Schritt 13.1.3.4

Subtrahiere $2 y$ von $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0$

Schritt 13.1.3.5

Addiere $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.5

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x) + \int - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.8

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) + \int - 2 \cos (x) d x$

Schritt 14.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 \int \cos (x) d x$

Schritt 14.10

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 (\sin (x) + C)$

Schritt 14.11

Vereinfache.

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Schritt 14.12

Stelle die Terme um.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Schritt 16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + 1 y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$