Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\cos^{2} (y)$ aus $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ nach $\sec^{2} (y)$ um.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.2.2

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

Schritt 3.1.2

Stelle $\frac{e^{2 x}}{2}$ und $K$ um.

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

Schritt 3.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$