Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{e^{x}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{e^{x}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{e^{x}}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{x}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{e^{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 2.3.2.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int e^{- x} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.3.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int - e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (- \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{- x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 e^{- x} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$ um.

$| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- 4 e^{- x} + C}$ als $e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- 4 e^{- x}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- 4 e^{- x}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- 4 e^{- x}}$