Analysis Beispiele

$x^{2} d y + (y - 1) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(y - 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} d y = - (y - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y - 1$ aus $x^{2} (y - 1)$ heraus.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = y - 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 4.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe $- (- x^{- 1} + C_{2})$ als $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ um.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{\frac{1}{x} + C}$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} + C} = | y - 1 |$

Schritt 5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$ um.

$| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$

Schritt 5.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{\frac{1}{x} + C}$

Schritt 5.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{\frac{1}{x} + C} + 1$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{\frac{1}{x} + C}$ als $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{1}{x}} e^{C} + 1$

Schritt 6.2

Stelle $e^{\frac{1}{x}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{x}} + 1$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{1}{x}} + 1$