Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $t y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $y - t y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $y$ aus $- t y$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- t)$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ als $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $t$ und $3$ für $y$ in $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ ersetzt wird.

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ um.

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

Schritt 6.2.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ durch $e^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ durch $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Setze $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ für $C$ in $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $e^{\frac{1}{2}}$ aus $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ heraus.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 7.4.4

Dividiere $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$