Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x^{2} y$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.5

Entferne die Klammern.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Schritt 1.6

Bewege $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 5.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 5.5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 5.6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 5.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 5.8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 5.9

Vereinfache.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 5.10

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Schritt 5.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 5.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 5.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 5.11.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 5.11.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Schritt 5.12

Stelle die Terme um.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{2} x$ heraus.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.6

Kombinieren.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 6.3.1.7

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$