Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{1}{x + 6} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{x + 6}$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x + 6}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6}{x + 6} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x + 6} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x + 6$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x + 6 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 6 \ln (| x + 6 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $- 6 \ln (| x + 6 |)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 6 |}^{6}) = C$

Schritt 3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x + 6 |}^{6}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 6)}^{6}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + 6)}^{6}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 6)}^{6}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache $e^{C} {(x + 6)}^{6}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 6 + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 36 + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 216 + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $216$ mit $20$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.6

Potenziere $6$ mit $4$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1296 + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.7

Mutltipliziere $1296$ mit $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.8

Multipliziere $6$ mit $6^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.1.2.1.8.1

Bewege $6^{5}$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6 x + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $6^{5}$ mit $6$ .

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Schritt 3.5.4.1.2.1.8.2.1

Potenziere $6$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6^{1} x + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5 + 1} x + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.8.3

Addiere $5$ und $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{6} x + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.9

Potenziere $6$ mit $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 6^{6})$

Schritt 3.5.4.1.2.1.10

Potenziere $6$ mit $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 46656)$

Schritt 3.5.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} x^{6} + e^{C} (36 x^{5}) + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Schritt 3.5.4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Schritt 3.5.4.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Schritt 3.5.4.1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Schritt 3.5.4.1.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Schritt 3.5.4.1.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + e^{C} \cdot 46656$

Schritt 3.5.4.1.3.6

Bringe $46656$ auf die linke Seite von $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 \cdot e^{C}$

Schritt 3.5.4.1.4

Stelle die Faktoren in $e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 e^{C}$ um.

$| y | = x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C})$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm (x^{6} C + 36 x^{5} C + 540 x^{4} C + 4320 x^{3} C + 19440 x^{2} C + 46656 x C + C)$