Analysis Beispiele

$\frac{d f}{d t} = 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d f = (16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d f = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$f + C_{1} = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f + C_{1} = \int 16 t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Schritt 2.3.2

Da $16$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 16 \int t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Schritt 2.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Schritt 2.3.5

Sei $u = 1 - t^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 t d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = 1 - t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 2.3.5.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 2.3.5.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Schritt 2.3.5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3.5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Schritt 2.3.5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 t$

Schritt 2.3.5.1.4

Subtrahiere $2 t$ von $0$ .

$- 2 t$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.6.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 2.3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.10.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.10.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.10.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.10.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.10.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.10.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.10.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.10.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.10.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Schritt 2.3.12

Vereinfache.

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Schritt 2.3.12.1

Vereinfache.

$f + C_{1} = 8 t^{2} - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 2 (\frac{5}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 2 \cdot 5}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.4

Kombiniere $\frac{- 10}{2}$ und $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 10 u^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.12.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 5 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

Schritt 2.3.12.2.6.4

Dividiere $- 5 u^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.13

Ersetze alle $u$ durch $1 - t^{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$f = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$