Analysis Beispiele

$(2 x y) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 1$ aus $(x^{2} - 1) y$ heraus.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $(x + 1) (x - 1) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u = (x + 1) (x - 1)$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u = (x + 1) (x - 1)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Schritt 4.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.4.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.4.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.4.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.3.4.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.4.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3.4.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Schritt 4.3.4.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.4.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 4.3.4.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Schritt 4.3.4.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Schritt 4.3.4.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.4.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.3.4.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

Schritt 5.3

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

Schritt 5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Schritt 5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Schritt 5.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Schritt 5.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Schritt 5.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

Schritt 5.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

Schritt 5.4.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

Schritt 5.5

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

Schritt 5.6

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

Schritt 5.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

Schritt 5.7

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

Schritt 5.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

Schritt 5.9

Schreibe $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

Schritt 5.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.10.1

Schreibe die Gleichung als $| y x^{2} - y | = e^{C}$ um.

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

Schritt 5.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} - y$ heraus.

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Schritt 5.10.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2}) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.5

Faktorisiere.

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Schritt 5.10.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.6

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.10.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.10.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.10.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.10.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.10.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.10.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.10.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.10.6.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$