Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Stelle $e^{x}$ und $\sin (x)$ um.

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.4

Stelle $e^{x}$ und $\cos (x)$ um.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.7

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.8

Wenn nach $\int e^{x} \sin (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3.10

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1.1

Addiere $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ und $x \sin (x)$ .

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Schritt 2.3.11.1.1.1

Bewege $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.11.1.1.2

Um $x \sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.11.1.1.3

Kombiniere $x \sin (x)$ und $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.11.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.11.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x \sin (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.11.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.3.1

Um $\cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.11.3.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.11.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.11.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.11.4

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$