Analysis Beispiele

$t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 9 t e^{t}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d r}{d t} + M (t) r = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 9 t e^{t}$ durch $t \ln (t)$ .

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (t)$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d r}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 t e^{t}}{t \ln (t)}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $r$ aus $\frac{r}{t \ln (t)}$ heraus.

$\frac{d r}{d t} + r \frac{1}{t \ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 1.6

Stelle $r$ und $\frac{1}{t \ln (t)}$ um.

$\frac{d r}{d t} + \frac{1}{t \ln (t)} r = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{1}{t \ln (t)}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{t \ln (t)} d t}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{1}{t \ln (t)}$ .

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \ln (t)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{t} d t$ , folglich $t d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \ln (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\ln (t)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{t}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (t)$ .

$e^{\ln (| \ln (t) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\ln (t))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\ln (t)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\ln (t)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\ln (t)$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) (\frac{1}{t \ln (t)} r) = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{t \ln (t)}$ und $r$ .

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{t \ln (t)} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (t)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $\ln (t)$ aus $t \ln (t)$ heraus.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (t)$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{9 e^{t}}{\ln (t)}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = 9 e^{t}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [\ln (t) r] = 9 e^{t}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [\ln (t) r] d t = \int 9 e^{t} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\ln (t) r = \int 9 e^{t} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$\ln (t) r = 9 \int e^{t} d t$

Schritt 7.2

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$\ln (t) r = 9 (e^{t} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$\ln (t) r = 9 e^{t} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\ln (t) r = 9 e^{t} + C$ durch $\ln (t)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\ln (t) r = 9 e^{t} + C$ durch $\ln (t)$ .

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (t)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{9 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$