Analysis Beispiele

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (2 x y + x)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.4

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.7

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x = 0$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 x = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 x$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- (2 x y + x)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- (2 x y + x)$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $0$ und $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x y + x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.5

Ersetze $M$ durch $- (2 x y + x)$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

Schritt 6.4

Sei $u = 2 y + 1$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.4.1

Es sei $u = 2 y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 6.4.1.1

Differenziere $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Schritt 6.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 6.4.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 6.4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 6.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 6.4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 6.4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 6.4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 6.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Schritt 6.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Schritt 6.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 6.9

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Schritt 6.10

Ersetze alle $u$ durch $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

Schritt 6.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.1

Vereinfache $- \ln (| 2 y + 1 |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

Schritt 6.11.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

Schritt 6.11.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{2 y + 1}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- (2 x y + x)$ mit $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 2 x y - x$ mit $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y - x$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 y - 1$ und $2 y + 1$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.6.4

Schreibe $- (2 y + 1)$ als $- 1 (2 y + 1)$ um.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7.6.6

Dividiere $x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

Schritt 7.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

Schritt 7.8

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x d x + y d y = 0$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $y$ mit $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

Schritt 7.10

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int x d x$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Schritt 12.3

Da $- \frac{1}{2} x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Schritt 12.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{y}{2 y + 1}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Schritt 13.3

Dividiere $y$ durch $2 y + 1$ .

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Schritt 13.3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

Schritt 13.3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Schritt 13.3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

Schritt 13.3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

Schritt 13.3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Schritt 13.3.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Schritt 13.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Schritt 13.5

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Schritt 13.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Schritt 13.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

Schritt 13.8

Entferne die Klammern.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

Schritt 13.9

Sei $u = 2 y + 1$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.9.1

Es sei $u = 2 y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 13.9.1.1

Differenziere $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Schritt 13.9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 13.9.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 13.9.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 13.9.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 13.9.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 13.9.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 13.9.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 13.9.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 13.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 13.10

Vereinfache.

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Schritt 13.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 13.10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Schritt 13.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 13.11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 13.12

Vereinfache.

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Schritt 13.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 13.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 13.13

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 13.14

Vereinfache.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Schritt 13.15

Ersetze alle $u$ durch $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Schritt 15.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

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Schritt 15.1.3.1

Stelle $\ln (| 2 y + 1 |)$ und $\frac{1}{4}$ um.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

Schritt 15.1.3.2

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

Schritt 15.2

Um $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 15.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.5.1

Multipliziere $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

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Schritt 15.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

Schritt 15.5.1.2

Vereinfache $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

Schritt 15.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 15.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 15.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 15.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 15.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$