Analysis Beispiele

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y + 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 4 y - 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4 y - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

Schritt 2.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $x + 4 y - 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

Schritt 2.3.8.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 4 y - 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x = 2 x + 4 y - 2$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x = 2 x + 4 y - 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + 4 y - 2$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x (x + 4 y - 2)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 4 y + 2$ und $x + 4 y - 2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (4 y)$ heraus.

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3.6

Schreibe $- (x + 4 y - 2)$ als $- 1 (x + 4 y - 2)$ um.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Schritt 4.3.3.8

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x}$

Schritt 4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| x |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x y + 1$ mit $\frac{1}{x}$ .

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x y + 1$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x (x + 4 y - 2)$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x + 4 y - 2$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Schritt 8.3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

Schritt 8.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

Schritt 8.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 11.4.1

Da $2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.4.2

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 11.6.1.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.6.1.2

Addiere $y$ und $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 11.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x y + 1}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 12.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Schritt 12.1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y + \frac{1}{x} - y$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$