Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \ln (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x \ln (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int x \ln (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$x^{2} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{2} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Schritt 7.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Schritt 7.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 7.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 7.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Schritt 7.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Schritt 7.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.6.2

Vereinfache.

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Schritt 7.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (x)$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.6.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Schritt 7.6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 7.6.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 7.6.4

Stelle die Terme um.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 8.1.2

Entferne die Klammern.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Dividiere $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x)) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} (\ln (x))$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{4}$ in den Zähler.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$