Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{3}$ ist.

$v = y^{- 2}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ in Gedenken an $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.14

Bringe $v^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Schritt 4.17

Schreibe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Schritt 4.19

Potenziere $v$ mit $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.23

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$ ein.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere $2 v^{\frac{3}{2}}$ aus $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- \frac{1}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1.4.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.5

Vereinfache $- v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 2 = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.4

Multipliziere $v^{- \frac{3}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.4.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Schritt 6.1.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Schritt 6.1.3.4.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Schritt 6.1.3.4.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{0}$

Schritt 6.1.3.5

Vereinfache $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (- 2 x)$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (- 2 x)$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$ um.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = - 2 x e^{2 x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = - 2 x e^{2 x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int - 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} v = \int - 2 x e^{2 x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{2 x} v = - 2 \int x e^{2 x} d x$

Schritt 6.7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 6.7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 6.7.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Schritt 6.7.5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.7.5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.7.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6.7.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 6.7.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.7.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 6.7.10

Schreibe $- 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $- 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 6.7.11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 6.7.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 6.7.12.1.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 6.7.12.1.3

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} v = - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{2 x} v = 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 6.7.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{4}$ in den Zähler.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.4.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 6.7.12.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 6.7.12.4.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.5.2

Multipliziere $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{2 x}}{2}$ mit $1$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.6

Um $- x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.7

Kombiniere $- x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.9.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.12.9.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2$ heraus.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 6.7.12.9.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 6.7.12.9.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Schritt 6.7.12.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 6.7.12.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2} + C$

Schritt 6.7.12.11

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2} + C$

Schritt 6.7.12.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2} + C$

Schritt 6.7.12.13

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2} + C$

Schritt 6.7.12.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 6.7.13

Entferne die Klammern.

$e^{2 x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Schritt 6.8

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$

Schritt 6.8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{2}$ in den Zähler.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 (x)) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{- e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.3

Multipliziere $- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$v = \frac{- e^{2 x} x + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{e^{2 x}}{2}$ mit $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4

Vereinige $- e^{2 x} x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.2.4.1

Bewege $e^{2 x}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4.2

Um $- 1 x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4.3

Kombiniere $- 1 x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.2.5.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.2.5.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- 1 x e^{2 x} \cdot 2$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.3

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.4.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5.3

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 e^{2 x} x$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{2 x}$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x})$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 C$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.3.6.6.1

Schreibe $- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ als $- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ um.

$v = \frac{\frac{- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = \frac{- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.6.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}$ um.

$v = \frac{- \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Schritt 6.8.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{2 x}}$ mit $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}$ .

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{e^{2 x} \cdot 2}$

Schritt 6.8.2.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$