Analysis Beispiele

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Schritt 1.3.2

Kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Schritt 1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.3.5

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.3.6

Separiere Brüche.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.3.7

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Schritt 1.3.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (θ)}$ zu dividieren.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Schritt 1.3.9

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Schritt 1.3.10

Multipliziere $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

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Schritt 1.3.10.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.3.10.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.3.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Schritt 1.3.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.4

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $\frac{y}{e^{y}}$ und $7$ .

$\int \frac{y \cdot 7}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int \frac{7 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$7 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$7 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.3.2.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$7 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$7 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$7 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$7 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$7 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.7

Sei $u_{1} = - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.7.1

Es sei $u_{1} = - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.7.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.7.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$7 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$7 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.9

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.10

Schreibe $7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ als $7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ um.

$7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.11

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- y$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = \sin (θ)$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , folglich $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = \sin (θ)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (θ)$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$