Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 9} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x^{2} - 9$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x^{2} - 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$y + C_{1} = \ln (| x^{2} - 9 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \ln (| x^{2} - 9 |) + C$