Analysis Beispiele

$(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1 - x^{2} y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2} y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y$ nach $y$ gleich $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2}$

Schritt 1.4

Subtrahiere $x^{2}$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} (y - x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} (y - x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [y - x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- 1 \cdot 1) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \cdot - 1 + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.6.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) (2 x)$

Schritt 2.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 \cdot (y - x) x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (2 y + 2 (- x)) x$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x + 2 (- x) x$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x \cdot x$

Schritt 2.4.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x)$

Schritt 2.4.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x^{1})$

Schritt 2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{1 + 1}$

Schritt 2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{2}$

Schritt 2.4.3.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 y x$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- x^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 3 x^{2} + 2 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 3 x^{2} + 2 x y$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} (y - x)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} (y - x)$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2}) - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - 2 (x y)}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $- x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- y)$ heraus.

$\frac{2 x (x - y)}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (x - y)$ heraus.

$\frac{x (2 (x - y))}{x^{2} (y - x)}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (y - x)$ heraus.

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (x - y)}{x (y - x)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - y$ und $y - x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- x) - y)}{x (y - x)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- x) - (y))}{x (y - x)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - (y)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (y - x)}$

Schritt 4.3.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Schritt 4.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $1 - x^{2} y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(1 - x^{2} y) \frac{1}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $1 - x^{2} y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2} (y - x)$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + (y - x) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = y - x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Schritt 8.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Schritt 8.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Differenziere.

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Schritt 11.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.2.2

Da $\frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Subtrahiere $y$ von $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Schritt 12.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 12.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Schritt 12.1.2.2.1.2

Dividiere $- 1 y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Schritt 12.1.2.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

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Schritt 12.1.3.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x^{2}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 13.3

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 13.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Schritt 13.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Schritt 13.6

Schreibe $- x^{- 1} + C$ als $- \frac{1}{x} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$