Analysis Beispiele

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 + 3 x - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 + 3 x - y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 3 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + 0$

Schritt 2.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 3$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = 3$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $3$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{3 - 1}{y}$

Schritt 4.3.2

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Schritt 5.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y^{2}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

$y \cdot y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{1} y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{1 + 2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3 + 3 x - y$ mit $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) y^{2} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y \cdot y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Bewege $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y)) d y = 0$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 6.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y^{1})) d y = 0$

Schritt 6.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{2 + 1}) d y = 0$

Schritt 6.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y^{3}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 11.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$ .

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Schritt 12.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 x y^{2}$ und $- 3 y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 y^{2} x - y^{3} - 3 y^{2} x$

Schritt 12.1.2.2

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3} + 0$

Schritt 12.1.2.3

Addiere $3 y^{2} - y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $3 y^{2} - y^{3}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Schritt 13.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Schritt 13.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - y^{3} d y$

Schritt 13.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - \int y^{3} d y$

Schritt 13.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Schritt 13.8

Vereinfache.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.9

Vereinfache.

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Schritt 13.9.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.9.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 15

Kombiniere $y^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{y^{4}}{4} + C$