Analysis Beispiele

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x + x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 1.2.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x$ .

$\frac{0 - x}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $2 x + x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x + x y$ .

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $0$ .

$\frac{- x}{2 x + x y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x + x y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (y)$ heraus.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2 + y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $2 x + x y$ .

$- \frac{1}{2 + y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

Schritt 5.2

Sei $u = 2 + y$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Es sei $u = 2 + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Differenziere $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Schritt 5.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.2.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 5.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Schritt 5.5

Ersetze alle $u$ durch $2 + y$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Vereinfache $- \ln (| 2 + y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{2 + y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x + x y$ mit $\frac{1}{2 + y}$ .

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x + x y$ mit $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x + x y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (y)$ heraus.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Schritt 6.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x d x + y d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $y$ mit $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

Schritt 6.6

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Schritt 11.3

Da $\frac{1}{2} x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{y}{2 + y}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Schritt 12.3

Stelle $2$ und $y$ um.

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

Schritt 12.4

Dividiere $y$ durch $y + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$2$

$y$

$0$

Schritt 12.4.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

Schritt 12.4.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

Schritt 12.4.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 2$

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

Schritt 12.4.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

Schritt 12.4.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

Schritt 12.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Schritt 12.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Schritt 12.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

Schritt 12.8

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

Schritt 12.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

Schritt 12.10

Sei $u = y + 2$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.10.1

Es sei $u = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.10.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 12.10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 12.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 12.10.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 12.10.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 12.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12.11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 12.12

Vereinfache.

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

Schritt 12.13

Ersetze alle $u$ durch $y + 2$ .

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Schritt 13

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Schritt 14

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Schritt 14.1.2

Vereinfache $- 2 \ln (| y + 2 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

Schritt 14.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| y + 2 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

Schritt 14.2

Um $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 14.3

Kombiniere $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Multipliziere $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

Schritt 14.5.1.2

Vereinfache $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$