Analysis Beispiele

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ durch $4 x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ durch $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $4 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{y}{4 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{y}{4 x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

Schritt 1.2.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

Schritt 1.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

Schritt 1.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

Schritt 1.2.4.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

Schritt 1.2.4.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y x$ heraus.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(y + 1) (y - 1)$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = (y + 1) (y - 1)$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = (y + 1) (y - 1)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y + 1$ und $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $y + 1$ mit $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 2.2.2.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Schritt 2.2.2.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.2.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.3.8.2

Mutltipliziere $y - 1$ mit $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.8.3

Addiere $y$ und $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Schritt 2.2.2.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.2.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 y + 0$

Schritt 2.2.2.1.3.8.4.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $(y + 1) (y - 1)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$