Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 3 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int 3 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int 3 d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int 3 d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int 3 d x$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int 3 d x$

Schritt 2.2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int 3 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{2}{3}}$ nach $y$ gleich $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 3 d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.3.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = x + \frac{K}{3}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(x + \frac{K}{3})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y = x^{3} + 3 (x^{2}) \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{K}{3}$ an.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{2}$ heraus.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{3} + x^{2} K + x \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Kombiniere $x$ und $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{K}{3}$ an.

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Schritt 3.3.2.1.2.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Schritt 3.4

Vereinfache $x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$ .

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Schritt 3.4.1

Stelle $x^{2}$ und $K$ um.

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Schritt 3.4.2

Stelle $x$ und $K^{2}$ um.

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Schritt 3.4.3

Bewege $x^{3}$ .

$y = K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + x^{3}$

Schritt 3.4.4

Bewege $K x^{2}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + K x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.5

Stelle $\frac{K^{2} x}{3}$ und $\frac{K^{3}}{27}$ um.

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{3} + K x^{2} + x^{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = K + \frac{K x}{3} + K x^{2} + x^{3}$