Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = e^{t} {(y - 1)}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} (e^{t} {(y - 1)}^{2})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere ${(y - 1)}^{2}$ aus $e^{t} {(y - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = e^{t}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = e^{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int e^{t} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int e^{t} d t$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int e^{t} d t$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int e^{t} d t$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int e^{t} d t$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Schritt 2.2.4

Schreibe $- u^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{u} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Schritt 2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Schritt 2.3

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = e^{t} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 1$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ mit $y - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ mit $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y - 1}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = e^{t} y + e^{t} \cdot - 1 + K (y - 1)$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{t}$ .

$- 1 = e^{t} y - 1 \cdot e^{t} + K (y - 1)$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 e^{t}$ als $- e^{t}$ um.

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K (y - 1)$

Schritt 3.2.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y + K \cdot - 1$

Schritt 3.2.3.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $K$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - 1 \cdot K$

Schritt 3.2.3.1.6

Schreibe $- 1 K$ als $- K$ um.

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - K$

Schritt 3.2.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{t} y - e^{t} + K y - K$ um.

$- 1 = y e^{t} - e^{t} + K y - K$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$ um.

$y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $e^{t}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{t} + K y - K = - 1 + e^{t}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{t} + K y = - 1 + e^{t} + K$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y e^{t} + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y e^{t}$ heraus.

$y (e^{t}) + K y = - 1 + e^{t} + K$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (e^{t}) + y K = - 1 + e^{t} + K$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (e^{t}) + y K$ heraus.

$y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ durch $e^{t} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ durch $e^{t} + K$ .

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t} + K$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{- 1 (1) + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{t}$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- e^{t})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t} - K)}{e^{t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1 - e^{t} - K}{e^{t} + K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{1 - e^{t} + K}{e^{t} + K}$