Analysis Beispiele

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x y + 3 y^{2} - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x y$ nach $y$ gleich $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4 x + 6 y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

Schritt 3.3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $x + 2 y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $4 x + 6 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 x + 6 y$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + 2 y$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x (x + 2 y)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x (x + 2 y)$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.5

Subtrahiere $2 y$ von $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4 y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (2 y)$ heraus.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Schritt 6.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Schritt 6.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x^{2}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $4 x y + 3 y^{2} - x$ mit $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $x (x + 2 y)$ mit $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Schritt 7.7

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 7.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Schritt 7.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $3$ und $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Schritt 7.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Schritt 9.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Schritt 9.3

Da $2 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Schritt 9.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 9.5

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Schritt 9.6

Vereinfache.

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Schritt 9.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Schritt 9.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Schritt 9.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Schritt 9.6.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{4} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Schritt 12.4.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 12.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $4 x^{3} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 13.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 13.1.3.1

Subtrahiere $4 x^{3} y$ von $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 13.1.3.2

Addiere $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 13.1.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $3 y^{2} x^{2}$ und $- 3 x^{2} y^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 13.1.3.4

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

Schritt 13.1.3.5

Addiere $- x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- x^{3}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

Schritt 14.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 14.5

Schreibe $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 16

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$