Analysis Beispiele

$(x^{3} + y^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - x^{2} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Schritt 2.2

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y$ nach $y$ gleich $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.4

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Schritt 3.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- x^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- x^{2} = 3 x^{2}$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- x^{2} = 3 x^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- x^{2} y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- x^{2} y$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} - - x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3 - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- - x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)}{- x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 - - 1)}{- x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 + 1)}{- x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{- 1 y}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $- x^{2} y$ .

$- \frac{4}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Schritt 6.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 4 \ln (| y |)$ , indem du $- 4$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{4}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- x^{2} y$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- x^{2} y \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- x^{2} y$ heraus.

$y (- x^{2}) \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{y^{3}}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $x^{3} + y^{3}$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $x^{3} + y^{3}$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{x^{3} + y^{3}}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 7.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Schritt 9.2

Da $\frac{1}{y^{3}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{y^{3}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x)$

Schritt 9.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x$

Schritt 9.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 9.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.5.1

Schreibe $- \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $- \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.5.2

Vereinfache.

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Schritt 9.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3 y^{3}} x^{3} + C$

Schritt 9.5.2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- \frac{x^{3}}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ nach $y$ gleich $- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{3}}$ als ${(y^{3})}^{- 1}$ um.

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{3}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.7

Multipliziere $y^{- 6}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.9

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.10

Kombiniere $\frac{3 x^{3}}{3}$ und $y^{- 4}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{- 4}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.11

Bringe $y^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Multipliziere $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 13.1.1.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.3.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.3.6.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.9

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.10

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.3.10.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.10.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 13.1.1.3.3.10.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

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Schritt 13.1.1.3.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x^{2} y$ und $- y x^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.4.3

Addiere $- x^{3} - x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.4.4

Ordne die Faktoren in den Termen $- x y^{2}$ und $y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.4.5

Addiere $- y^{2} x$ und $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.4.6

Addiere $- x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Subtrahiere $y^{3}$ von $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{3}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{4}$ .

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Schritt 13.1.1.6.1.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- y^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.6.1.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{4}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $\frac{1}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 14.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + \ln (| y |) + C$