Analysis Beispiele

$(x y^{2} + y) d x + (x^{2} y + x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y^{2} + y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} y + x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 1$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x y + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} + y d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = x y^{2} + y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x y^{2} d x + \int y d x$

Schritt 5.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y x + C$

Schritt 5.7

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.3.7.2

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} y + x + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + x = x^{2} y + x$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x = x^{2} y + x - x^{2} y$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x - x^{2} y - x$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y + x - x^{2} y - x$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + 0 - x$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x - x$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y x + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y x + C$