Analysis Beispiele

$y - x \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$- x \frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \frac{d y}{d x} + y = x^{3}$ durch $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{x^{3}}{- x}$

Schritt 1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{x^{3}}{- x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{x^{3}}{- x}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x^{3}}{- x}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x \cdot x^{2}}{- x}$

Schritt 1.5.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot x^{2}$

Schritt 1.6

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{- x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 1 \cdot x^{2}$

Schritt 1.7

Stelle $y$ und $\frac{1}{- x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 1 \cdot x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{- x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{1}{- x}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

Schritt 2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 1 \cdot x^{2})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x^{2}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x^{2}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x)$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x)$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - x$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - x$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - x d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int - x d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = - \int x d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x^{2}}{2} + C) x$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x^{2}}{2} + C) x$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \frac{x^{2}}{2} + C) x$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(- \frac{x^{2}}{2} + C) x$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{x^{2}}{2} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2

Multipliziere $- \frac{x^{2}}{2} x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot x^{2}}{2} + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x^{2}}{2} + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{x^{1 + 2}}{2} + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{x^{3}}{2} + C x$