Analysis Beispiele

$y (x + 9) + \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x + y \cdot 9 + \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$y x + 9 y + \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $y x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y + \frac{d y}{d x} = - y x$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $9 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = - y x - 9 y$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y x - 9 y$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) - 9 y$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) + y \cdot - 9$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 x) + y \cdot - 9$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x - 9)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d y}{d x} = y (- x - 9)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 9$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (- x - 9) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x - 9 d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x - 9 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$ als $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$