Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - 3 y)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 - 3 y$ . Dann ist $d u = - 3 d y$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 - 3 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 3 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.5.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.2.7.1

Schreibe $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1})$ als $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $1 - 3 y$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 (1 - 3 y), 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 (1 - 3 y)$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ mit $3 (1 - 3 y)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ mit $3 (1 - 3 y)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} (3 (1 - 3 y)) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 3 y$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 3 \ln (| x |) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.2

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) \cdot 1 + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $\ln ({| x |}^{3})$ mit $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - 3 \ln ({| x |}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.6.1

Vereinfache $- 3 \ln ({| x |}^{3})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({({| x |}^{3})}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| x |}^{3})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{3 \cdot 3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Schritt 3.2.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C (1 - 3 y)$

Schritt 3.2.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C \cdot 1 + 3 C (- 3 y)$

Schritt 3.2.3.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 C (- 3 y)$

Schritt 3.2.3.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 \cdot - 3 C y$

Schritt 3.2.3.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$

Schritt 3.2.3.2

Stelle die Faktoren in $\ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$ um.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$ um.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) = - 3 C + 9 C y + 1$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $9 C y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $\ln ({| x |}^{3})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y$ heraus.

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln ({| x |}^{9})$ heraus.

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Schritt 3.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 C y$ heraus.

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Schritt 3.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C)$ heraus.

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Schritt 3.3.6

Schreibe $- 1 \ln ({| x |}^{9})$ als $- \ln ({| x |}^{9})$ um.

$y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Schritt 3.3.7

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ durch $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ durch $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

$\frac{y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C)}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

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Schritt 3.3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.7.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 C + 1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 C$ heraus.

$y = \frac{- (3 C) + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{- (3 C) - 1 (- 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 C) - 1 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})$ heraus.

$y = \frac{- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2.7

Schreibe $- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ als $- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ um.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Schritt 3.3.7.3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 C$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)}$

Schritt 3.3.7.3.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Schritt 3.3.7.3.2.10

Schreibe $- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ als $- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ um.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Schritt 3.3.7.3.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Schritt 3.3.7.3.2.12

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + 9 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + C}$