Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y - 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y - 2$ .

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = 6 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y - 2) d y = 6 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y - 2 d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 6 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Schritt 3.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} = K$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} - K = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} - 2 K = 0$

Schritt 3.3.3

Bewege $- 4 y$ .

$y^{2} - 6 x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Schritt 3.3.4

Stelle $y^{2}$ und $- 6 x^{2}$ um.

$- 6 x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 6 x^{2} - 2 K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 6 x^{2} - 2 K$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 - 6 x^{2} - 2 K$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 K$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Schreibe $- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)$ als $2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$