Analysis Beispiele

$2 x y d y + (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Schritt 2.4

Subtrahiere $2 y$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 3.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 y = 2 y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 y = 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 y$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $2 x y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $2 x y$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y - 1 \cdot 2 y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 1 \cdot 2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y (- 2 - 2)}{2 x y}$

Schritt 5.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{2 x}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x^{2} - y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{2} - y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Schritt 7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2 x y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 y \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 7.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + y \frac{2}{x} d y = 0$

Schritt 7.7

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{y \cdot 2}{x} d y = 0$

Schritt 7.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{2 y}{x} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{2 y}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $\frac{2}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{2}{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{2}{x} \int y d y$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $\frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x \cdot 2} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y^{2} + C$

Schritt 9.3.2.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{x} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{x}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.5.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Multipliziere $(- x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1.1.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.3.1.6.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.1.8

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.2

Subtrahiere $y x$ von $x y$ .

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Schritt 13.1.1.3.3.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.3

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.4.1

Addiere $- y^{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Schritt 14.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + x + C$