Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} y^{3}$ aus $x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2} y^{3}$ aus $x^{3} y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2} y^{3}$ aus $- x^{2} y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2} y^{3}$ aus $x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x + x y^{4}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x y^{4}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (y^{4})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1 + y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x - 1)$ heraus.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.1.2.5

Dividiere $x (x - 1)$ durch $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Schritt 1.5.6

Mutltipliziere $x^{2} - x$ mit $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Schritt 1.5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{4}$ .

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Schritt 1.5.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Schritt 1.5.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

Schritt 1.5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.5.8.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $(x^{2} - x) y^{3}$ heraus.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Schritt 1.5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Schritt 1.5.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(1 + y^{4}) y^{- 3}$ .

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $y^{- 3}$ mit $1$ .

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $y^{4}$ mit $y^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache $y^{1}$ .

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.7.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.2.8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$