Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $6 x - x^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 6 + x (- x^{2})$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 6 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 6 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 2.3.2.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.1

Schreibe $- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ als $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $6 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere ${(6 - x^{2})}^{2}$ und $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $K$ .

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- {(6 - x^{2})}^{2}$ heraus.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $8 K$ heraus.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

Schritt 3.2.2.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ heraus.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Schritt 3.2.2.1.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.5.4.1

Schreibe $- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ als $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ um.

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Schritt 3.2.2.1.5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe ${(6 - x^{2})}^{2}$ als $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ um.

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.3.2

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $- 6 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.4

Schreibe $- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ als ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

Schritt 3.4.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Schritt 3.4.4.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Schritt 3.4.4.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Schritt 3.4.4.6

Füge Klammern hinzu.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Schritt 3.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Schritt 3.4.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Schritt 3.4.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$