Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$